Heuristics of G. Cantor’s set theory

Abstract

[Abstrakt tylko w j. niemieckim / Abstract only in German]

Heuristik der Mengenlehre G. Cantors

Als Resultat der neuen Bezeichnung der quantitativen Beziehungen zwischen den Mengen und der Feststellung der Ungleichmächtigkeit der Menge von rationalen und realen Zahlen, waren Cantors Verbesserungen in der Ontologie der Unendlichkeit. In klassischer (leksikalischer) Auffassung als Unendliches wurde das angenommen, was unbeschränkt war. Die Unendlichkeit sollte in dieser Bedeutung absolut sein, daß wenn etwas unendlich ist, so kann es nur ein Einziges sein. Die Annahme des Bestehens eines anderen, als das Absolute, aktual unendlichen Seins (einer anderen Menge) führte zu Paradoxen. Das Absolute hielt man, bei der Forschung mit Hilfe der mathematischen Methoden, für unerkennbar. Es ergab sich davon ein heuristischer Hinweis in der Mathematik die Unendlichkeit zu meiden und die Forschungen auf das Gebiet dessen zu beschränken was endlich ist Als beschränkt, also de facto als endlich, hielt man die potentialunendlichen Vielheiten.

Cantor wurde zu einer neuen Formulierung der Ontologie der Unendlichkeit gezwungen. Er hat die klassische (leksikalische) Gliederung zwischen der absoluten Unendlichkeit und den beschränkten Vielheiten behalten. Die letzten hat er mit Hilfe des Kriteriums von Dedekind in endliche und transfinite Vielheiten geteilt. “Zwischen” das, was endlich und das, was absolut unendlich ist, hat er das Transfinitum “eingebaut”. Die “erweiterte” Ontologie der Unendlichkeit bildete eine Grundlage für die Annahme der heuristischen Regeln.

Es wurden drei Grundsätze rekonstruiert:
1. Jede potentiale Unendlichkeit setzt das Bestehen der mit ihr verbundenen aktuellen Unendlichkeit voraus.
2. Man soll die unendlichen Vielheiten, so weit wie es nur möglich ist, als endliche Mengen behalten.
3. Die absolute Unendlichkeit kann nicht mit Hilfe der mathematischen Methoden bestimmt sein.

In der Analyse der konkreten Beispiele ist die Nutzbarkeit der heuristischen Regeln hervorgetreten. Der zweite Grundsatz “vergrößerte” das Gebiet der Erforschung (der Exploration), welche mit den mathematischen Methoden geführt wird. Sie gestattete in Cantors Überzeugung eine absolute Skala der Valenzen der Mengen zu bilden. Die dritte Regel schützte Cantors Mengenlehre vor Antinomien unde führte zur Aufteilung der unendlichen Vielheiten auf konsistente und unkonsistente Mengen. Durch Anwendung dieses Grundsatzes, welcher die klassische Regel wiederholt und vor Paradoxen schützt, antizipierte Cantor die Elemente der Auflösungen, welche die Antinomien ausschalten.

Man muß im allgemeinen feststellen, daß die Heuristik der Cantors Mengenlehre durch die angenommenen ontologischen Voraussetzungen determiniert wurde.